Родился в Ленинграде. В 1972 году окончил Московский полиграфический институт по специальности «Инженер-механик полиграфических машин». В 1983 году получил второе высшее образование в Ленинградском институте театра, музыки и кинематографии по специальности «Театровед-организатор театрального дела». В 2002 году получил научную степень кандидата экономических наук.

По своей второй специальности начал работу в качестве заместителя директора Ленинградского театра Музыкальной комедии, где проработал с 1979 по 1984 год. Затем был переведен на должность директора Дворца работников искусств им. К. С. Станиславского. С 1986 года был назначен директором Ленинградского драматического театра им. В. Ф. Комиссаржевской, а с 1995 года работал в должности исполнительного директора Мариинского театра. Затем, с 2000 года, почти пять лет, был директором Филармонии им. Д. Д. Шостаковича.

С 2005 года - генеральный директор Санкт-Петербургского театра Музыкальной комедии.

Одновременно, с 2005 по 2014 гг. работал в качестве первого заместителя художественного руководителя-директора Мариинского театра.

В 2002 году Ю. А. Шварцкопф был награжден Знаком «За заслуги в области культуры», в 2003 году — Орденом «Дружбы народов», Кавалер Ордена «За заслуги перед Республикой Польша» (2003 год).

В 2007 году ему присвоено почетное звание «Заслуженный деятель искусств России».

В 2008 году Ю.А. Шварцкопфу присвоена правительственная награда Венгрии «Орден Венгерской Республики».

Как продюсер мюзикла «Бал вампиров» удостоен Премии Правительства Санкт-Петербурга в области литературы, искусства и архитектуры за 2011 год «За достижения в области музыкально-сценического искусства».

В 2014 году стал лауреатом Премии имени Андрея Толубеева «За осуществление серии масштабных проектов в жанре мюзикла».

В 2016 году в числе творческой группы спектакля «Белый.Петербург» удостоен Премии Правительства Санкт-Петербурга в области культуры и искусства за 2015 год «За достижения в области музыкально-сценического искусства».

Безупречная деятельность Юрия Шварцкопфа на посту генерального директора Санкт-Петербургского театра музыкальной комедии была отмечена знаком отличия «За заслуги перед Санкт-Петербургом», который ему торжественно вручили в день юбилея 24 февраля 2017 года.

Указом Президента РФ №182 от 03.05.2018 награжден Орденом Почета «За большой вклад в развитие отечественной культуры и искусства, многолетнюю плодотворную деятельность». 

В 2020 году Юрий Шварцкопф награжден Памятным знаком Представительства МИД России в Санкт-Петербурге «За достижения в деле развития и укрепления международного сотрудничества».

В 2021 году удостоен Высшей награды Законодательного Собрания Санкт-Петербурга - Почетного знака «За особый вклад в развитие Санкт-Петербурга».

С 2021 года Юрий Шварцкопф является мастером курса программы магистратуры «Продюсирование театральной деятельности» в Санкт-Петербургском гуманитарном университете профсоюзов.

24 февраля 2022 года в день юбилея был награжден Почетным знаком «За заслуги перед Санкт‑Петербургом».

13 февраля 2023 года Юрий Шварцкопф награжден Памятным знаком «350 лет Петру Великому».

В мае 2023 года в числе творческой группы спектакля «Петр I» удостоен Премии Правительства Санкт-Петербурга в области культуры и искусства за 2022 год «За достижения в области музыкально-сценического искусства».

В 2024 году стал лауреатом премии «Легенда» Ассоциации музыкальных театров России.